Měření tlaku a hydrostatické výšky

Jak z tlaku určujeme hloubku

Měření tlaku zjišťuje, jakou silou kapalina nebo plyn působí na jednotku plochy. V klidné vodě tlak roste s hloubkou, protože směrem dolů přibývá voda, jejíž tíhu musí nižší vrstvy nést. Ze změřeného tlaku proto můžeme vypočítat hloubku ponoření přístroje. Pevně umístěné čidlo zase umožňuje sledovat změny výšky hladiny nad ním. Takové určení výšky nebo hloubky z tlaku se opírá o hydrostatickou rovnováhu. (USGS, oddíl Physics of Pressure)

Postup vysvětlíme na oceánografické soupravě SBE 9plus s křemenným tlakoměrem Digiquartz. Souprava se spouští z lodi a současně měří tlak, teplotu a elektrickou vodivost vody. Tlak přiřazuje ostatním údajům svislou polohu ve vodním sloupci. Technická dokumentace SBE 9plus popisuje snímač, kalibraci i převod jeho signálu.

Proč tlak s hloubkou roste

Každá vrstva klidné vody je v rovnováze. Tlak na její spodní straně musí být větší než na horní, aby výsledná síla vyvážila tíhu vody mezi nimi. Tomuto stavu říkáme hydrostatická rovnováha. Čím vyšší je sloupec vody, tím větší tlakový rozdíl odpovídá jeho tíze. U stejné výšky sloupce rozhoduje také hustota, tedy hmotnost vody v jednotce objemu. Hustší voda vytváří větší tlakový rozdíl. (USGS, oddíl Physics of Pressure)

Na volnou hladinu působí ještě tlak vzduchu. Ten se přenáší do vody, takže ponořené čidlo zaznamenává společně tlak vzduchu nad hladinou a příspěvek vodního sloupce. Absolutní tlakoměr porovnává toto zatížení s vakuem, prostředím s téměř nulovým tlakem uzavřeným uvnitř snímače. Výsledkem je absolutní tlak. Pro samotnou vodu pak potřebujeme odečíst tlak vzduchu změřený ve stejném čase. Rozlišení obou příspěvků vysvětluje příručka americké geologické služby USGS z roku 2004.

Základní jednotkou tlaku je pascal, značka Pa. Jeden pascal odpovídá síle jednoho newtonu rozložené na metr čtvereční. V oceánografii se používá větší jednotka decibar, značená dbar, která odpovídá 10 000 Pa. V meteorologii se běžně setkáme s hektopascalem, hPa, rovným 100 Pa. Jednotka říká, jak tlak číselně vyjadřujeme, tlaková reference určuje, vůči čemu jej měříme. (USGS, jednotky tlaku)

Křemenný tlakoměr

U SBE 9plus se tlak okolní vody přenáší do přístroje úzkou trubičkou, kapilárou, naplněnou olejem. Olej přenese tlak na měřicí část a současně ji odděluje od mořské vody. Uvnitř tlakoměru působí tlak na zahnutou pružnou trubici. Ta se pod jeho vlivem snaží narovnat a přenáší sílu na křemenný rezonátor. Je to malý pružný prvek z křemene, který elektronika udržuje v kmitání. (Paroscientific: konstrukce snímače)

Mechanické napětí mění rychlost kmitání rezonátoru. Elektronika proto může zjišťovat tlak měřením frekvence, počtu kmitů za sekundu, nebo periody, doby jednoho kmitu. Jednotkou frekvence je hertz, značka Hz. Popis technologie Digiquartz ukazuje přenos síly z pružného členu na křemen. Olejový přívod a zapojení v konkrétní soupravě popisuje manuál SBE 9plus.

Elektronika zaznamenává vedle kmitání také teplotu uvnitř tlakoměru. Odezva jeho součástí se totiž s teplotou mění. Pro převod na tlak proto používáme oba údaje společně. Vnitřní teploměr popisuje stav snímače, zatímco samostatné čidlo na soupravě měří teplotu mořské vody. Každý z těchto teploměrů tak poskytuje jiný vstup pro další zpracování. (Sea-Bird, s. 37 a 44)

Kalibrace a převod na tlak

Vztah mezi frekvencí, vnitřní teplotou a tlakem získáme kalibrací. Snímač vystavujeme známým tlakům a zaznamenáváme jeho odezvu. Známý tlak lze vytvořit závažím působícím na píst o známé účinné ploše. Síla, kterou závaží zatěžuje píst, dělená touto plochou určuje tlak. Takový přístroj slouží jako tlakový etalon, tedy referenční měřidlo pro porovnání. (Sea-Bird, s. 31–32)

Kalibrace pokrývá více tlaků a teplot, aby popisovala chování snímače v celém zamýšleném rozsahu. Ze souboru porovnání se určí koeficienty, číselné parametry převodního vztahu pro daný kus. Při měření do něj software dosadí odečet kmitání a vnitřní teplotu. Výsledný tlak už zahrnuje opravu teplotního vlivu na snímač. Tento postup dokládají výrobce tlakoměru a manuál soupravy, strany 31–32 a 44.

Aby byla reference dohledatelná, potřebujeme znát hmotnost závaží, účinnou plochu pístu i místní tíhové zrychlení, které spolu s hmotností určuje tíhu závaží. Zohledníme také korekce použité při měření. Doložený řetězec porovnání těchto veličin, včetně jejich nejistot, zajišťuje metrologickou návaznost. Kalibrace tím určuje vztah mezi odečtem a referenční hodnotou. Seřízení je naopak zásah, který odezvu přístroje upravuje. Rozdíl vymezuje mezinárodní metrologický slovník VIM. (USGS, kalibrace tlakoměrů)

Při přípravě měření lze počátek tlakové stupnice porovnat s barometrem, přístrojem měřícím tlak vzduchu. Snímač je přitom teplotně ustálený a orientovaný stejně jako při použití. Kontrola pístovým etalonem naopak postupně prověří celý tlakový rozsah. Manuál na stranách 31–32 popisuje oba postupy i úpravu posunu a sklonu převodu podle porovnání.

Výpočet hloubky ve vodě

Nyní máme tlak u ponořeného čidla. Pro určení hloubky nejprve odečteme současný tlak vzduchu nad hladinou. Zbývající rozdíl odpovídá tíze vodního sloupce. Když známe hustotu vody a tíhové zrychlení, víme, jaký tlak připadá na metr jeho výšky. Tlakový rozdíl tímto příspěvkem vydělíme a získáme hloubku:

h je hloubka čidla pod hladinou v metrech, kladná směrem dolů. $p_s$ je absolutní tlak u čidla a $p_0$ tlak vzduchu nad hladinou, oba v pascalech. Řecké písmeno $\rho$ označuje hustotu vody v kilogramech na metr krychlový. g je místní tíhové zrychlení v m/s², které určuje tíhu jednotky hmotnosti. (USGS, oddíl Physics of Pressure)

V tomto tvaru předpokládáme hydrostatickou rovnováhu a přibližně stálou hustotu i tíhové zrychlení mezi hladinou a čidlem. Dvojnásobný tlakový rozdíl pak odpovídá dvojnásobné hloubce. Při stejném rozdílu tlaků naopak vyjde menší hloubka pro hustší vodu, protože každý metr jejího sloupce přispívá větší tíhou. Vztah i jeho použití u ponorných čidel rozebírá příručka USGS.

V oceánu se hustota s hloubkou mění. Ovlivňují ji teplota, obsah rozpuštěných solí i stlačení vody vyšším tlakem. Výpočet proto může rozdělit vodní sloupec na tenké vrstvy. Pro každou použije její hustotu a tlakový rozdíl, určí její tloušťku a tloušťky sečte. Tím zachová stejný hydrostatický princip a současně zapojí proměnlivé vlastnosti vody. (TEOS-10, metodická příloha)

Výpočty vlastností mořské vody sjednocuje soustava TEOS-10, anglicky Thermodynamic Equation of Seawater 2010. Její postup gsw_z_from_p převádí tlak na výšku s využitím zeměpisné šířky pro určení tíhového zrychlení. V základním použití vychází z referenčního oceánu se stanoveným obsahem solí a teplotou. Další vstupy umožňují přidat vliv skutečného rozložení hustoty a výškové reference hladiny. Výstupní souřadnice z je v metrech a roste vzhůru, takže pod hladinou vychází záporná. Hloubka kladná dolů je její opačná hodnota.

Tlak v oceánografickém souboru bývá také vyjádřen vůči pevné referenční atmosféře. TEOS-10 používá absolutní tlak zmenšený o 10,1325 dbar, tedy 101 325 Pa. Tato dohoda dává datům společný tlakový počátek. Aktuální tlak vzduchu nad místem měření se může od referenční hodnoty lišit. Manuál SBE 9plus na straně 32 používá obdobně zaokrouhlenou hodnotu 14,7 psi. Jednotka psi vyjadřuje libru síly na čtvereční palec, značka psia výslovně označuje absolutní tlak v těchto jednotkách. (TEOS-10: tlaková konvence)

Při použití jednoduchého vzorce pro hloubku proto nejprve zjistíme, jaký tlak soubor obsahuje. Pokud už software odečetl pevnou referenční atmosféru, jejím přičtením obnovíme absolutní tlak. Teprve od něj odečteme současný tlak vzduchu nad hladinou. U výpočtu podle TEOS-10 naopak předáváme tlak v konvenci, kterou tento postup vyžaduje. Význam sloupce určuje dokumentace přístroje a použitého zpracování. (USGS, absolutní a relativní tlak)

Výsledek a použití v klimatologii

Při spouštění soupravy do oceánu vzniká posloupnost měření v různých hloubkách. Manuál SBE 9plus z roku 2010 uvádí záznam 24 souborů měření za sekundu. Každý spojuje tlak s dalšími odečty. Tato kombinace se označuje CTD, z anglického Conductivity, Temperature, Depth, tedy vodivost, teplota a hloubka. Tlak je změřený, hloubka vzniká popsaným výpočtem. Profil lze také ponechat v tlakové souřadnici a teplotu porovnávat při stejných hodnotách tlaku. (Sea-Bird, technické parametry)

Takové profily tvoří podklad pro měření obsahu tepla v oceánu. Potřebujeme při něm vědět, jaká teplota patří ke které vrstvě a kolik vody tato vrstva obsahuje. Teplotní údaje dodává termometrie. Hustota závisí také na salinitě, která vyjadřuje obsah solí a odvozuje se z elektrické vodivosti spolu s teplotou a tlakem. Lodní soupravy CTD i samostatně se pohybující plováky programu Argo tak propojují několik měřicích metod. (Barker a kol., úvod a metody)

Význam tlakové souřadnice doložili Barker a spoluautoři v roce 2011 na tehdejších datech Argo z let 2000–2008, stažených v lednu 2009. Využili záznamy tlaku při vynoření, kdy je přístroj na hladině, k rozpoznání posunu tlakové stupnice. U části plováků mohli posun opravit i v ponořených profilech za předpokladu, že je stejný v celém měřeném rozsahu. Přepočet změnil odhady oceánského oteplování a příspěvku teplotní roztažnosti vody ke změnám hladiny. Práce ukazuje, proč při sledování teplotních změn potřebujeme také správné přiřazení hloubky.

Při výzkumu acidifikace oceánu tlak pomáhá určit, ze které vrstvy pochází odebraný vzorek. Zároveň patří k podmínkám potřebným pro přepočty chemických veličin. Údaje o chemickém složení dodávají další metody, tlak je spojuje s místem odběru a podmínkami ve vodě. (Dickson a kol., kapitola 2 a SOP 1)

Vývoj přístrojů a další použití

Souvislost tlaku s výškou umožnily sledovat už kapalinové barometry. Florin Périer v dopise Blaisi Pascalovi z 22. září 1648 popsal pokus provedený o tři dny dříve na Puy-de-Dôme. Rtuťový sloupec v trubici byl na vrcholu nižší než dole v Clermontu. Tlak okolního vzduchu vyvažoval tíhu rtuťového sloupce, takže menší výška rtuti odpovídala menšímu tlaku. Druhé uspořádání zůstalo dole a sloužilo ke kontrole změn během dne. Porovnání se opakovalo i po návratu.

Pružné a později elektronické snímače umožnily zaznamenávat tlak v krátkých intervalech a měřit s pohybujícím se přístrojem. Vedle křemenného rezonátoru mohou využívat membránu, která se tlakem prohýbá. Její deformace mění elektrický odpor, tedy míru, s jakou snímací prvek brání průchodu proudu, nebo elektrickou kapacitu, množství náboje uloženého při daném napětí. Kalibrace opět přiřadí elektrické odezvě hodnotu tlaku. Digiquartz pro malé tlaky používá také pružný měch místo zahnuté trubice. Konstrukce popisují USGS a výrobce křemenných tlakoměrů.

Pro měření hladiny se používají i čidla s odvětranou referencí. Na jednu stranu membrány působí voda, na druhou přivádí tenká trubička vzduch z prostoru nad hladinou. Atmosférický tlak tak působí na obě strany a výsledný rozdíl odpovídá vodnímu sloupci. Čidlo tento rozdíl poskytuje přímo, zatímco absolutní záznamník potřebuje samostatný barometr. Příručka USGS vysvětluje obě uspořádání i jejich instalaci.

U pevně upevněného snímače změna hloubky ponoření ukazuje, o kolik se nad ním zvedla nebo klesla hladina. Pro výšku vody vůči pobřeží ještě potřebujeme znát polohu čidla vůči pevnému výškovému bodu. Tuto návaznost rozvíjí pobřežní měření hladiny a výšková reference. Tak vzniká místní záznam využitelný při sledování změn výšky mořské hladiny. Globální průměr pak vyžaduje spojení měření z více míst a další prostorové zpracování. (USGS, instalace a výšková reference)

Hydrostatický vztah platí také v atmosféře. Směrem vzhůru tlak klesá, protože nad daným místem ubývá vzduchu. Jeho hustota se výrazně mění s tlakem, teplotou a vlhkostí, proto při určování výšky postupujeme po vrstvách. Radiosondáž vysvětluje i opačný výpočet, kdy známe výšku z družicové navigace a dopočítáváme tlak. Dokumentace referenční sítě výškových měření GRUAN, oddíl 4.4.2, uvádí potřebné vstupy: počáteční tlak na stanici, teplotu, vlhkost a tíhové zrychlení. Místa se stejnou hodnotou tlaku tvoří tlakovou hladinu. Na těchto hladinách pak můžeme porovnávat výšková měření teploty a vlhkosti atmosféry.

Nejistoty a ověření měření

Na vypočtenou hloubku působí nejistota tlaku i hustoty vody. Při sledování výšky hladiny záleží také na poloze čidla vůči pevnému bodu. Důležité jsou teplotní změny snímače a jeho dlouhodobá stabilita. Nezávislá zkouška tří záznamníků Level TROLL 100 v USGS ukázala, že se většina výsledků při 0 až 50 °C vešla do výrobcem udané tlakové meze. Čtyři záznamy ji těsně překročily. Tento výsledek patří zkoušeným přístrojům a podmínkám.

Skutečný příklad z kalibračního protokolu

Na protokolu Sea-Bird GmbH z 9. února 2024 si ukážeme, jak vyhodnotit rozdíly mezi tlakoměrem a laboratorní referencí. Dokument patří soupravě SBE 9plus číslo 0954 s tlakovým snímačem 114729 a rozsahem 10 000 psia. Veřejné PDF uchovává univerzita v Maine v archivu laboratoře Marine In Situ Sound & Color Lab mezi kalibračními podklady expedice Tara Europa.

Laboratoř tlak nejprve zvyšovala a potom snižovala. Protokol obsahuje jedenáct záznamů v tomto pořadí. U každého uvádí referenční tlak, odečtenou frekvenci, vnitřní teplotu a tlak přístroje před opravou i po ní. Přepočet začneme u těchto zveřejněných tlaků. Od údaje přístroje odečteme referenci, takže kladný rozdíl znamená, že přístroj ukazoval více. (Sea-Bird: původní protokol)

Tabulka vyjadřuje všechny tlaky a rozdíly v decibarech. Původní hodnoty v psi jsme vynásobili převodním faktorem 0,689476 podle manuálu Sea-Bird. První sloupec určuje tlak nastavený při zkoušce, další dva ukazují, jak se po opravě změnila shoda s referencí. (Sea-Bird, s. 32)

Rozdíl mezi přístrojem a referencí

Podívejme se na desátý řádek, zaznamenaný při snižování tlaku. Frekvence byla 34 149,80 Hz a vnitřní teplota 23,7 °C. Referenční tlak měl hodnotu 2 000,997 psia, údaj přístroje před opravou 2 001,366 psia a po opravě 2 000,653 psia. Od opraveného údaje odečteme referenci a výsledek převedeme na dbar:

Přístroj po opravě ukázal o 0,344 psi, tedy přibližně 0,237 dbar, méně než reference. Je to největší velikost rozdílu po opravě v celé tabulce. Před opravou dosahovala největší odchylka přibližně 0,847 dbar. Stejný postup lze zopakovat pro všech jedenáct řádků a získat obě křivky v grafu.

Co by tlakový rozdíl znamenal pro výšku vody

Pro představu převedeme velikost rozdílu 0,237 dbar na výšku vodního sloupce. Jde o ilustrační výpočet pro zvolenou hustotu 1 000 kg/m³ a standardní tíhové zrychlení 9,80665 m/s². Laboratorní protokol neposkytuje měření hloubky v oceánu. Ukazujeme, jak velká změna hloubky by za těchto podmínek vytvořila stejný tlakový rozdíl.

Nejprve převedeme decibary na pascaly násobením 10 000. Potom velikost tlakového rozdílu |Δp| vydělíme součinem hustoty a tíhového zrychlení, stejně jako v hlavním výkladu. Výsledné |Δh| je velikost odpovídajícího rozdílu hloubek v metrech:

V takové vodě by tedy tlakový rozdíl odpovídal přibližně 24,2 cm výšky vodního sloupce. Řecké písmeno $\rho$ opět označuje hustotu v kg/m³ a g tíhové zrychlení v m/s². Skript ke stažení počítá s nezaokrouhleným tlakovým rozdílem z tabulky.

Stejný převod ukazuje význam tlaku vzduchu nad hladinou. Za zvolených podmínek odpovídá 1 hPa, tedy 100 Pa, přibližně 10,2 mm vody. Změna atmosférického tlaku o 10 hPa by bez jejího odečtení vypadala jako změna hladiny asi o 10,2 cm. I tento údaj je ilustrací pro zadanou hustotu a tíhové zrychlení, nikoli záznamem konkrétní stanice.

Shrnutí